Límites y Continuidad

            El límite de una función, se refiere al lugar hacia dónde va dirigida la función en un determinado punto o en el infinito.

            Y con respecto a la continuidad; se considera que una función “f ” es continua en “c” si se cumplen las siguientes condiciones:

 

Propiedades de los Limites

 

 

         Ejemplos:

         1).    Determinar el límite de la siguiente función: (X² + 3X - 1)  para X = 2;  y determinar además si es continua.

         Sustituyendo el valor de la X, quedaría:

 

            = 2²  +  3.2  - 1

           =  4   +   6  -  1

           =     10  -  1

           =  9

          Por lo tanto:         

         La función es continua en X = 2

 

 

        2).      Determinar el límite de la siguiente función:

  

para X = 1; y determinar además si es continua.

 

 

La función es continua en X = 1

 

 

 

 

Interpretación geométrica del límite de una función:

            Considerando una función f(x) en el punto X₀, el límite viene a ser el valor al que tienden las imágenes (las “y”) cuando los originales (las “x”) se acercan al valor X₀.

            Ejemplo:     Calcular el límite de la función f(x) = X² en el punto X₀ = 2

            Sustituyendo el valor de la X:

           Esto se puede interpretar de la siguiente manera:

            Teniendo el punto de referencia X₀ = 2, y conociendo la función f(x) = X², si se acerca a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

            A continuación se presenta una tabla donde se aprecia mejor:

 

          Por tanto, se observa que si se sustituye en la “X” valores menores a 2, poco a poco se acerca al valor 4. Igualmente, si se sustituye en la “X” valores mayores a 2 poco a poco se acerca al valor 4.

 

         Graficando el límite de la función:

 

 

 

         Más información sobre limites, en los siguientes enlaces:

 

         Límite Matemático

         Limites de una función

         Limites de una función: Propiedades de los limites

         Guia de ejercicios sobre limites

 

 

Forma Indeterminada

             Cuando ocurre que el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" , ésta se puede eliminar factorizando el numerador o el denominador para simplificar y poder calcular el límite; recurriendo para ello a métodos que correspondan a cada caso, como por ejemplo: simplificación, racionalización, cambio de variable, factor común, producto notable, Ruffini. En otros casos se multiplica y divide la expresión dada por la conjugada del numerador o del denominador.

             Ejemplo:

 

 

 

 Forma Indeterminada

           Cuando en una expresión en forma de quebrados, al sustituir la variable por su valor en el límite aparece la indeterminación “infinito sobre infinito” se suele eliminar dividiendo el numerador y el denominador por la variable con la mayor potencia.

           Ejemplo:

 

 

            

              Guia de ejercicios sobre limites:

              Limites de funciones

              Limites en infinito

Ejercicios:

 

 

          Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

 



          Como el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero"se deberá recurrir a otro método para poder calcular el límite.
 

         En este caso se puede notar que el numerador de la función es una diferencia de cubos perfectos; por lo tanto es posible aplicar la factorización correspondiente a este tipo de diferencia; la cual  se da como el producto de un binomio por un trinomio:

          En una diferencia de cubos perfectos: a³ – b³, el procedimiento a realizar para factorizar es el siguiente:

          1). Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio:

 

          2). Se forma un producto de dos factores. (Producto de un binomio por un trinomio):

·        Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio:

                                                                (a – b)    

·        Los factores trinomios se determinan de la siguiente forma:

      El cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz:        (a² + ab + b²)

     Por lo tanto el producto de los factores, quedaría así:     (a – b) (a² + ab + b²)

          Es decir, que la factorización de   a³ – b³  es  (a – b) (a² + ab + b²)

 

 

Aplicando  estos  procedimientos  a    x³ - 8:

 

    1). Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio:

 

     2). Se forma un producto de dos factores. (Producto de un binomio por un trinomio).

            Donde:

      ·     El factor binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio:

                                                                          (x – 2)

 

·      Y el factor trinomio es: El cuadrado de la primera raíz, más el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz:   (x² +2x + 4)

 

      De manera que el producto de ambos factores, sería:  (x – 2) (x² +2x + 4)

 

      Es decir, que la factorización de   x³ – 8   es  (x – 2) (x² +2x + 4)

 

 

Por lo tanto al aplicar la factorización, quedaría así:

 

 

 

     Luego, se procede a evaluar el límite de la función:

 

 

  

             

               Ejercicio 2:

             Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

 

           Cuando ocurre que el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" se deberá recurrir a métodos geométricos, algebraicos, simplificación, racionalización o cambio de variable para poder calcular el límite.

           En este caso se puede notar que el numerador de la función es un trinomio de la forma:

 x² + ax + b, por lo tanto es posible aplicar la factorización correspondiente a este tipo de trinomio; la cual consiste en conseguir dos números m y n, de manera que:

m + n = a      y     m . n = b

 

           Por lo tanto, el trinomio quedaría factorizado en dos factores binomiales; quedando así: 

                                         x² + ax + b  =  (x + m) . (x - n)

         En el caso de   x² + 4x -32  quedaria factorizado en  (x + 8) . (x – 4),  puesto  que:

8 – 4 = 4    y    8(- 4) =  -32.

 

Aplicando la factorización, quedaría de la siguiente manera:

 

             Luego, se procede a evaluar el límite de la función:

 

             Es decir:         

 

 

 

            Ejercicio 3:

           Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

         Como el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" se deberá recurrir a otro método para poder calcular el límite.

          En este caso se aplica la racionalización al numerador de la función, que consiste en multiplicar y dividir dicha función por el conjugado del numerador (él mismo pero con signo contrario); es decir:

 

                 Luego, se procede a evaluar el límite de la función: