Funciones Matemáticas

Funciones Matemáticas:

            Una función matemática, es la  relación numérica que existe entre dos cantidades o conjunto de elementos, donde a cada uno de los elementos del primer conjunto le corresponde una sola imagen o elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto se le conoce como conjunto de partida y al segundo conjunto se le llama conjunto de llegada.

            Ejemplos de funciones:

            Ejemplo 1:

             Se puede observar que todos los elementos del conjunto “A” tienen una sola imagen en el conjunto “B”.


              Ejemplo 2:

               En este ejemplo también se observa que todos los elementos del conjunto “M” tienen una sola imagen en el conjunto “N”.



               Ejemplo 3:

              En este caso, “No es función”, ya que un elemento del conjunto “C” tiene dos imágenes en el conjunto “D”; y en una función ningún elemento del conjunto de partida puede tener dos imágenes en el conjunto de llegada.

Función real de variable real:

            Se considera que una función real o función con valores reales, es cualquier función cuyo dominio y rango sean un subconjunto de los números reales.

            Comúnmente se suele denotar a una función f de la siguiente manera: 

                                                               f: X → Y                            

            Es igual expresar que:   X → f(x)                 

            Siendo “X” la variable independiente, correspondiente al conjunto de partida o dominio de la función f; y la “Y” es la variable dependiente, que corresponde al conjunto de llegada o rango de f.

            El  dominio o dominio de definición de una función ( Df ), es el conjunto de partida conformado por todos los elementos que tienen imagen en el conjunto de llegada. De manera que, el dominio estará representado por cada uno de los valores que se le den a la variable independiente “X”, específicamente números reales, para los que se puede calcular la imagen f(x); es decir, valores que hagan posible un valor real en “Y”.

            Y el rango (Rf ), es el conjunto de llegada conformado por cada una de las imágenes del dominio. Lo que quiere decir que, el rango estará representado por el conjunto de valores que toma la variable dependiente “Y” denominada f(x), donde por ende su valor dependerá del valor que se le dé a la variable independiente “X”.

            La función puede ser:

 

            Ejemplo:

            Dada la función  f(x)= x + 3; determinar el conjunto de imágenes para el conjunto:

            A= (0, - 4, 2).

                                                          Y =    f(x) =  x + 3

            Sustituyendo la “x” de la función por cada uno de los valores del conjunto “A”, quedaría:

                         x =   0                          f(0)  =  0 + 3 =  3

                         x = - 4                          f(- 4) =  - 4 + 3 =  - 1

                         x =   2                          f(2)  =  2 + 3 =  5

            Por lo tanto el conjunto de imágenes obtenido es: 3, -1, 5 y se representará con la letra “B”.

            Aplicando la representación sagital:

 



 

Ejemplos para determinar el dominio de una función:

            1).        Y = 5x -1        Df (R)

            En este caso el dominio de la función son todos los números reales.

 

            2).        Y =   3/x          Df (R) - 0

            En esta función, el dominio son todos los números reales excepto el cero (0), ya que si se sustituye el cero en la “x” sería incompatible, puesto que no existe resultado para fracciones que tengan en el denominador un cero (0).

 

            3).        Y = √ x - ¼                 Df [ ¼, ∞)

 

            El dominio de esta función va desde  ¼  hasta +∞. No se toma en cuenta ni el cero (0) ni ningún número negativo (-) porque nos quedaría una raíz negativa de índice par, lo cual no existe.

            4).        Y =  √ x + 3                Df [ -3, ∞)

                                 x +3 ≥ 0

                                  x ≥ -3

            El dominio de esta función va desde  -3  hasta +∞. Evitando que quede una raíz negativa de índice par, ya que no existe.

 

Representación gráfica de funciones:

            Para ello, es necesario realizar los siguientes pasos:

            a).        En primer lugar se determina el dominio de la función.

            b).        Luego se asumen valores dentro del dominio; determinando los interceptos, es decir:

                        *          En  “X”  haciendo Y = 0

                        *          En  “Y”  haciendo X = 0

            c).        Y por último para diferentes valores de X, Y se traza la gráfica y se determina el rango.

 

               Ejemplo 1:   Graficar la siguiente función y determinar su rango:

                        Y =  X + 2      Donde su dominio son todos los números reales; Df = R

·         Haciendo Y = 0                                                  

                   Y = 0

                    X + 2 = 0

                       X = -2

 

·         Dándole valores a la “X”,

       X = 0              Y = 0 + 2

                              Y = 2

 

      X = 1              Y = 1 + 2

                             Y = 3

 

      X = -1             Y = -1 + 2

                             Y = 1

 

      X = 2              Y = 2 + 2

                             Y = 4

 

Gráfica:

 Por lo tanto el rango de la función son todos los números reales.  Rf = (-∞, ∞) = R

 

 

            Ejemplo 2:     Graficar la siguiente función y determinar su rango:

             Y =  X² - 1      Donde su dominio son todos los números reales; Df = R

 

             * Haciendo Y = 0         

X² – 1 = 0

X² =  1

√ X² =  ± √ 1

    X  = ± 1

                    X₁ =    1    ,    X₂  =    -1

 

              * Dándole valores a la “X”

               X = 0              Y = (0)² - 1                 Y =  -1

              X = 2              Y = (2)² - 1                 Y =  4 -1 =   3

              X = -2             Y = (-2)² - 1                Y =  4 -1 =   3

 

 

 Gráfica:

 

                  El rango de la función va desde -1 hasta ∞.  Rf = [-1, ∞)

 

 

                 Más información, en:

Función Matemática

Funciones

Tipos de Funciones

Función Lineal

Función Cuadrática

Funciones Racionales, Exponenciales y Logarítmicas

 

                Videos relacionados: 

 

 

 

 

Aplicaciones de las funciones en la ingeniería

          En un campo tan amplio como lo es el campo de la ingeniería, se utilizan no solo las funciones, sino todos o casi todos los métodos matemáticos. Por su parte, las funciones matemáticas se han convertido en elementos indispensables de los profesionales de la ingeniería; quienes suelen aplicar frecuentemente dichas funciones para resolver cualquier estudio que requiera la relación entre magnitudes o cantidades; donde quizás sea necesaria la realización de simulaciones para obtener una mejor comprensión de los resultados que se buscan, e incluso pueden hacer comparaciones con datos ya existentes sobre el estudio, creando una estadística del mismo.

          Un punto muy importante en este aspecto, es que hoy en día los ingenieros cuentan con una gran herramienta a su favor para la aplicación de las funciones en cualquier área de su carrera, como lo es el uso de la computadora y de una amplia gama de software diseñados para tal tarea. Logrando mayor rapidez de cálculo, y reduciendo así cualquier margen de error en los resultados que se obtienen.

            Algunas de las funciones utilizadas en ingeniería son:

*     La función trigonométrica; indispensable para quienes deseen estudiar ingeniería civil, mecánica y electrónica. Donde se definen los cálculos de seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente; arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Es usada sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

*     Las funciones polinómicas; son unas de las más utilizadas en la mayoría de las ingenierías, puesto que sirven para solucionar cualquier problema. Alguna de estas funciones son: algebra de polinomios; productos notables y factorización; solución de ecuaciones polinomiales, solución de sistemas de ecuaciones, entre otras.

*      Las funciones aplicadas a la geometría; que son utilizadas por los ingenieros civiles, mecánicos, químicos y ambientales. Quienes usan formulas basadas en funciones que sirven para  calcular perímetros, áreas y volúmenes. Así como también relaciones entre ángulos; trazos geométricos; entre muchas otras.

*    Las funciones estadísticas; que son indispensables para las disciplinas que utilizan constantemente la experimentación, como la ingeniería química y la ingeniería ambiental. Donde se destaca la función de distribución de probabilidad, que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad  de que dicho suceso ocurra. Y también la función de densidad de probabilidad, que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de manera que la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

Límites y Continuidad

            El límite de una función, se refiere al lugar hacia dónde va dirigida la función en un determinado punto o en el infinito.

            Y con respecto a la continuidad; se considera que una función “f ” es continua en “c” si se cumplen las siguientes condiciones:

 

Propiedades de los Limites

 

 

         Ejemplos:

         1).    Determinar el límite de la siguiente función: (X² + 3X - 1)  para X = 2;  y determinar además si es continua.

         Sustituyendo el valor de la X, quedaría:

 

            = 2²  +  3.2  - 1

           =  4   +   6  -  1

           =     10  -  1

           =  9

          Por lo tanto:         

         La función es continua en X = 2

 

 

        2).      Determinar el límite de la siguiente función:

  

para X = 1; y determinar además si es continua.

 

 

La función es continua en X = 1

 

 

 

 

Interpretación geométrica del límite de una función:

            Considerando una función f(x) en el punto X₀, el límite viene a ser el valor al que tienden las imágenes (las “y”) cuando los originales (las “x”) se acercan al valor X₀.

            Ejemplo:     Calcular el límite de la función f(x) = X² en el punto X₀ = 2

            Sustituyendo el valor de la X:

           Esto se puede interpretar de la siguiente manera:

            Teniendo el punto de referencia X₀ = 2, y conociendo la función f(x) = X², si se acerca a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

            A continuación se presenta una tabla donde se aprecia mejor:

 

          Por tanto, se observa que si se sustituye en la “X” valores menores a 2, poco a poco se acerca al valor 4. Igualmente, si se sustituye en la “X” valores mayores a 2 poco a poco se acerca al valor 4.

 

         Graficando el límite de la función:

 

 

 

         Más información sobre limites, en los siguientes enlaces:

 

         Límite Matemático

         Limites de una función

         Limites de una función: Propiedades de los limites

         Guia de ejercicios sobre limites

 

 

Forma Indeterminada

             Cuando ocurre que el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" , ésta se puede eliminar factorizando el numerador o el denominador para simplificar y poder calcular el límite; recurriendo para ello a métodos que correspondan a cada caso, como por ejemplo: simplificación, racionalización, cambio de variable, factor común, producto notable, Ruffini. En otros casos se multiplica y divide la expresión dada por la conjugada del numerador o del denominador.

             Ejemplo:

 

 

 

 Forma Indeterminada

           Cuando en una expresión en forma de quebrados, al sustituir la variable por su valor en el límite aparece la indeterminación “infinito sobre infinito” se suele eliminar dividiendo el numerador y el denominador por la variable con la mayor potencia.

           Ejemplo:

 

 

            

              Guia de ejercicios sobre limites:

              Limites de funciones

              Limites en infinito

Ejercicios:

 

 

          Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

 



          Como el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero"se deberá recurrir a otro método para poder calcular el límite.
 

         En este caso se puede notar que el numerador de la función es una diferencia de cubos perfectos; por lo tanto es posible aplicar la factorización correspondiente a este tipo de diferencia; la cual  se da como el producto de un binomio por un trinomio:

          En una diferencia de cubos perfectos: a³ – b³, el procedimiento a realizar para factorizar es el siguiente:

          1). Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio:

 

          2). Se forma un producto de dos factores. (Producto de un binomio por un trinomio):

·        Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio:

                                                                (a – b)    

·        Los factores trinomios se determinan de la siguiente forma:

      El cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz:        (a² + ab + b²)

     Por lo tanto el producto de los factores, quedaría así:     (a – b) (a² + ab + b²)

          Es decir, que la factorización de   a³ – b³  es  (a – b) (a² + ab + b²)

 

 

Aplicando  estos  procedimientos  a    x³ - 8:

 

    1). Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio:

 

     2). Se forma un producto de dos factores. (Producto de un binomio por un trinomio).

            Donde:

      ·     El factor binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio:

                                                                          (x – 2)

 

·      Y el factor trinomio es: El cuadrado de la primera raíz, más el producto de ambas raíces, más el cuadrado de la segunda raíz:   (x² +2x + 4)

 

      De manera que el producto de ambos factores, sería:  (x – 2) (x² +2x + 4)

 

      Es decir, que la factorización de   x³ – 8   es  (x – 2) (x² +2x + 4)

 

 

Por lo tanto al aplicar la factorización, quedaría así:

 

 

 

     Luego, se procede a evaluar el límite de la función:

 

 

  

             

               Ejercicio 2:

             Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

 

           Cuando ocurre que el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" se deberá recurrir a métodos geométricos, algebraicos, simplificación, racionalización o cambio de variable para poder calcular el límite.

           En este caso se puede notar que el numerador de la función es un trinomio de la forma:

 x² + ax + b, por lo tanto es posible aplicar la factorización correspondiente a este tipo de trinomio; la cual consiste en conseguir dos números m y n, de manera que:

m + n = a      y     m . n = b

 

           Por lo tanto, el trinomio quedaría factorizado en dos factores binomiales; quedando así: 

                                         x² + ax + b  =  (x + m) . (x - n)

         En el caso de   x² + 4x -32  quedaria factorizado en  (x + 8) . (x – 4),  puesto  que:

8 – 4 = 4    y    8(- 4) =  -32.

 

Aplicando la factorización, quedaría de la siguiente manera:

 

             Luego, se procede a evaluar el límite de la función:

 

             Es decir:         

 

 

 

            Ejercicio 3:

           Se procede a evaluar el límite de la función, es decir se sustituye en la función el valor que tiene la x. Entonces quedaría así:

         Como el resultado es la forma indeterminada "cero sobre cero" se deberá recurrir a otro método para poder calcular el límite.

          En este caso se aplica la racionalización al numerador de la función, que consiste en multiplicar y dividir dicha función por el conjugado del numerador (él mismo pero con signo contrario); es decir:

 

                 Luego, se procede a evaluar el límite de la función: