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Integración

La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, dada una función f(x), se buscan aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva, antiderivada o integral indefinida de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F '(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + c] ' = F '(x) + 0 = F '(x) = f(x)

Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Una integral indefinida se representa por: ∫ f(x) dx Se lee: integral de x diferencial de x.

Dónde:

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C

NOTA: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Para mayor información sobre integrales, visite:

Integración

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Tabla de Integrales

Ejemplos:

1. ∫ 5 dx

Pasos para resolver la integral:

- Ya que 5 es una constante, podemos fácilmente colocarla fuera de la integral, y nos quedaría:

5 ∫ dx

- Luego, de acuerdo a la tabla buscamos la fórmula que pueda ser aplicada a dicha integral, en este caso es ∫ dx = x + c

De manera que nos quedaría: 5 ∫ dx = 5x + c

· Para comprobar que este resultado es correcto, simplemente lo derivamos y nos debe resultar la función dada:

f(x) = 5x = 5

2. ∫ 8x dx

- Ya que 8 es una constante, podemos fácilmente colocarla fuera de la integral, y nos quedaría:

8 ∫ x dx

- Luego, de acuerdo a la tabla buscamos la fórmula que pueda ser aplicada a dicha integral, en este caso es:

De manera que nos quedaría:

· Para comprobar que este resultado es correcto, simplemente lo derivamos y nos debe resultar la función dada:

f(x) = 4x² = 2(4)x^2-1 = 8x

3. ∫ (senx + 4cosx-1) dx

- Separamos la integral con el mismo diferencial:

= ∫ (senx dx + ∫ 4cosx - ∫ dx

- Como el 4 en la segunda integral es una constante, la colocamos fuera de la integral:

= ∫ (senx dx + 4 ∫ cosx - ∫ dx

- Procedemos a integrar:

= - cos x + 4sen x – x + c

4. ∫ (2x⁴ + 5x²- 4x + 6) dx

- Separamos la integral con el mismo diferencial:

∫ 2x⁴ dx + ∫ 5x²dx - ∫ 4x dx + ∫ 6 dx

- Colocamos las constantes fuera de la integral:

2 ∫ x⁴ dx + 5 ∫ x²dx – 4 ∫ x dx + 6 ∫ dx

- Procedemos a integrar:

"Más información en los siguientes enlaces":

Definición de Integral

Integración Indefinida

Integral Indefinida

Integrales Inmediatas:

Son aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. Dicho de otra forma, se puede considerar como aquellas que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive dé como resultado la que está en la integral.

Algunas de las integrales inmediatas mayormente utilizadas son:

1. Integral de una constante: La integral de una constante es igual a la constante por x.

∫ k dx = k.x +c

2. Integral de cero: ∫ 0 dx = c

3. Integral de una potencia:

Ejercicios:

Más ejercicios en:

Integrales

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Integral por sustitución o cambio de variable:

Se basa en la derivada de la función compuesta.

Esta técnica no es otra cosa que la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.

Pasos para integrar por cambio de variable:

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

t = u

dt = u’ dx

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2. Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3. Se vuelve a la variable inicial:

Ejercicios:

Cambio de variable:

Sustituimos:

Devolviendo el cambio:

Cambio de variable:

Sustituimos:

Devolviendo el cambio:

Cambio de variable:

Sustituimos:

Devolviendo el cambio:

Cambio de variable:

Sustituimos:

Devolviendo el cambio:

Más información en:

Integrales por sustitución

Guía de ejercicios_1

Guía de ejercicios_2

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Integral por parte:

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejercicios:

Pasos:

· Se identifica (u) y (dv)

· Se determina (du) y (v)

· Se reescribe la integral, de acuerdo a la fórmula de integración por partes

· Se integra

Mayor información en:

Integral por partes

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Integral Definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por:

Dónde:

∫ es el signo de integración.

a es el límite inferior de la integración.

b es el límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].